خطر الإفلاس
احتمال إنك تخسر كل رأس مال اللعب تبعك قبل ما توصل للهدف.
لرهانات الدفع المتساوي، خطر الإفلاس ماشي على صيغة إفلاس المقامر. برأس مال $500، ورهانات $10، وهدف $600، بتوصل للهدف تقريبًا 57% من المرات وبتفلس بالباقي.
السؤال
معك a وحداتالمصاريالوحدةالرهان الأساسي يلي بيشتغل فيه نظام أو لاعب. التدرّجات بتنوصف بالوحدات مشان تنطبق على أي طاولة.اقرا الكل ← رأس مال اللعبالمصاريرأس مال اللعبكل المبلغ يلي حاطّه عجنب للّعب. إدارة رأس المال يعني تقرّر قدّيش منه رح تخاطر بكل رهان وبكل جلسة.اقرا الكل ← وبدّك توصل لـa + b وحدة، وإنت عم تراهن بوحدة وحدة كل مرة على رهان الدفع المتساويرهانرهان الدفع المتساويأحمر/أسود، فردي/زوجي، عالي/واطي. 18 رقم، وبيدفع 1:1.اقرا الكل ← باحتمالرياضياتالاحتمالفرصة نتيجة معيّنة، من 0 لـ1 أو من 0% لـ100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرا الكل ← ربح p = 18/37 واحتمال خسارة q = 19/37. قدّيش احتمال توصل للهدف قبل ما توصل للصفر؟ الجواب طلّعوه باسكال وفيرما وهويغنز بخمسينات القرن الـ17، وهو من أقدم النتائج بعلم الاحتمالات.
صيغة إفلاس المقامر
P(توصل للهدف) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). خطر الإفلاسرياضياتخطر الإفلاساحتمال إنك تخسر كل رأس مال اللعب قبل ما توصل لهدف أو لعدد دورات معيّن.اقرا الكل ← هو واحد ناقص هالرقم. مع q/p = 19/18 ≈ 1.0556، النسبة بتكبر بشكل أُسّي مع عدد الوحدات، فالصيغة بتعاقب الوحدات الزغيرة كتير: كل ما احتجت رهانات أكتر لتوصل للهدف، كل ما دفعت ضريبة الـ2.70% مرات أكتر عالطريق.
كيف بتقراها
الوحدات الزغيرة بتضرّ. إذا بدّك تضاعف $500 برهانات $10 بتنجح 6% من المرات؛ برهان واحد بـ$500 بتنجح 48.6% من المرات. اللعب الجريء، يعني رهانات أقل وأكبر، بيعطيك أعلى احتمال توصل لهدف بلعبة قيمتها المتوقعة سلبية، لأنو بيقلّل عدد المرات يلي الميزة بتنطبق فيها. وكمان بيعطيك أعلى تباينرياضياتالتباينمقياس لقدّيش النتايج متفرّقة حوالين القيمة المتوقعة. عالي للرقم الواحد، وواطي لرهانات الدفع المتساوي.اقرا الكل ← بيلي رح يصيرلك، وبيخلّص السهرة بسرعة. النظرية اسمها «اللعب الجريء هو الأمثل»، وبرهنوها دوبنز وسافيج سنة 1965.
من وين بلّشت المسألة
السؤال أقدم من الروليت. سنة 1656 باسكال حطّ لفيرما لغز: لاعبين بيرموا تلات زهرات، وكل واحد بيبلّش مع 12 قطعة عدّ؛ رمية مجموعها 11 بتنقل قطعة لجهة، ورمية مجموعها 14 بتنقلها للجهة التانية. التنين حلّوه، وهويغنز، يلي سمع فيه من رسالة من عالم الرياضيات بيير دو كاركافي، نشره سنة 1657 كخامس مسألة بأول كتاب عن الاحتمالات، مع الجواب وبدون برهان. الإحدعش بيطلع بـ27 طريقة والأربعتعش بـ15 بس، يعني كل قطعة بتتحرّك لجهة اللاعب الأول 9 مرات من 14، والصيغة يلي فوق، مع 12 قطعة لكل واحد، بتخلّي احتمال إنو يربح كل شي تقريبًا 1,157 ضعف احتمال إنو يخسر كل شي. ميزة 2.70% أزغر بكتير، بس نفس الصيغة بتورجيك شو بتعمل على رهانات كتيرة.
رهان جريء حقيقي
بنيسان 2004، آشلي ريفيل، شب إنكليزي، باع تقريبًا كل شي بيملكه، حتى تيابه، وأخد $135,300 على كازينو Plaza بلاس فيغاس. بعد كم رهان زغير، حطّ كل المبلغ على الأحمررهانالأحمررهان بدفع متساوي على الـ18 رقم الأحمر. بالفرنسي: rouge.اقرا الكل ←، مرة وحدة. الطابةالعدّةالطابةالطابة الزغيرة يلي بتنرمى عالمسار بعكس الدوّار. الطابات الحديثة من الإيفورين أو التفلون، قياسها 18–21 مم.اقرا الكل ← وقعت على 7 الأحمر، وطلع ومعه $270,600. على دولاب فيه صفرالدولابالصفرالخانة الخضرا الوحيدة يلي ما بيغطّيها ولا رهان دفع متساوي ولا دزينة ولا عمود؛ ومنها بتجي ميزة الكازينو. كمان بيقولولو: الصفر الواحد، 0.اقرا الكل ← مزدوج، هالدورة الوحدة كان احتمالها 47.37% وكلّفته بالمتوسط $7,121، يعني ميزة الـ5.26% على رهان واحد. لو وزّع نفس الهدف على رهانات $10، كان شبه مقطوع الأمل. اللعب الجريء ما بيخلّي الرهان منيح؛ بيخلّيه أقصر ما يمكن.
خطر الإفلاس بدون هدف
إذا بس عم تلعب لحتى تفلس أو بتوقف بعد N دورة، السؤال بيصير «قدّيش احتمال رأس مالي يلمس الصفر خلال N دورة؟». ما في صيغة مغلقة لأي N، بس المحاكيات بهالموقع بتحسبه: رأس مال $500 برهان $10 عالأحمر تقريبًا ما بيفلس أبدًا بـ100 دورة (أقل من 1%)، وبيفلس تقريبًا 9% من المرات بـ500 دورة، وتقريبًا 95% من المرات بـ5,000. بدون قاعدة توقّف، الاحتمال بيروح لـ100%، وهاي هي نسخة المدى الطويل من ميزة الكازينورياضياتميزة الكازينوالحصّة من كل رهان يلي بيخلّيها الكازينو لحاله بالمتوسط: 2.70% بالروليت الأوروبي.اقرا الكل ←.
- p10 −$500
- p25 −$500
- الوسيط −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
قدّيش بتطوّل، ولوين بتوصل بالربح
في كمان نتيجتين كلاسيكيتين بيجاوبوا على أسئلة اللاعبين فعلًا بيسألوها. بدون هدف، رهانات الدفع المتساوي الثابتة بتطوّل بالمتوسط 37 دورة عن كل وحدة من رأس مال اللعب على دولاب أوروبي و19 على دولاب أميركي، لأنو كل دورة بتاخد 1/37 من الوحدة بالمتوسط (1/19 على الدولاب الأميركي): 100 وحدة بتطوّل 3,700 دورة بالمتوسط، مع إنو نص هالجلسات بيخلص خلال 3,134 (شوف طول الجلسة وكلفتها). ومهما كان رأس المال كبير، احتمال إنك بيوم من الأيام تكون رابح k وحدات على دولاب أوروبي هو (18/19)ᵏ. يعني 95% لوحدة وحدة و58% لعشرة، بس ولا رأس مال، مهما كان كبير، بيعطيك احتمال النص إنك بيوم تكون رابح 13 وحدة؛ على الدولاب الأميركي الاحتمال (9/10)ᵏ وبينزل تحت النص عند 7 وحدات.
رأس مال لاحتمال نص بنص
اقلب السؤال: قدّيش لازم تجيب معك ليكون عندك عالأقل احتمال نص بنص إنك تربح مبلغ معيّن قبل ما تخسر كل شي؟ لربح زغير، مش كتير. لربح أكبر، رأس المال يلي بدّك ياه بيطلع بسرعة، وبعد حدّ معيّن ولا رأس مال بيكفي، لأنو حتى رأس مال ما بيخلص بيعطيك أقل من نص بنص إنك بيوم توصل رابح لهالدرجة. تايلور (2021) بيقولها بطريقة تانية: على دولاب أميركي، ليكون عندك احتمال نص بنص توصل لـ100 وحدة لازم تبلّش بـ94، يعني بتخاطر بـ94 لتربح 6. على دولاب أوروبي بدّك 88.
الدرس العملي
قرّر شو بدّك تعمل. إذا الهدف ربحة معيّنة، راهن كبير وقليل. إذا الهدف سهرة طويلة، راهن زغير واقبل إنو الميزة رح تاخد الـ2.70% تبعها من مجموع رهاناتالمصاريمجموع الرهاناتكل المبلغ يلي راهنت فيه بجلسة أو بفترة، مع الأرباح يلي رجعت راهنت فيها. كمان بيقولولو: «Handle»، «Action».اقرا الكل ← كبير. وإذا الهدف التنين، لازم شي يتنازل، وعادةً هو الهدف.
المعادلة
أسئلة
مارتينغالاستراتيجيةمارتينغالتدرّج بيضاعف الرهان بعد كل خسارة. شوف قسم الاستراتيجية لتعرف شو بيعمل وشو ما بيعمل.اقرا الكل ← بيخفّفه بالجلسات القصيرة وبيرفعه كتير بالطويلة. الرهان الثابتاستراتيجيةالرهان الثابتإنك تراهن بنفس المبلغ بكل دورة. هو الأساس يلي بتنقارن فيه كل التدرّجات.اقرا الكل ← بوحدة أكبر هو الطريقة الصادقة لتخفّفه.
الصيغة يلي فوق للدفع المتساوي. بالرهانات يلي تباينها عالي، الإفلاس أقرب بالمبالغ الزغيرة والوصول للهدف بيصير بقفزات؛ استعمل الحاسبة.
كل خطوة لعند الهدف احتمالها أقل بشوي من كل خطوة لعند الإفلاس؛ والنسبة بتتراكم على عدد الخطوات.
تسلاية بالرياضيات
جرّب تحلّها لحالك أول. كل حل مخبّى؛ فتحه لمّا تكون جاهز.
معك $100 وبدّك توصل لـ$1,000، وبتراهن بس على الأحمررهانالأحمررهان بدفع متساوي على الـ18 رقم الأحمر. بالفرنسي: rouge.اقرا الكل ←. الخطة الأولى: بتراهن بـ$1 كل مرة. الخطة التانية: بتراهن بكل شي معك لحتى تتعدّى $500، وبعدين بس بالمبلغ يلي بيكفي لتوصل لـ$1,000. أيّا خطة أحسن، وبقدّيش؟
ورجيني الحل
الجواب الخطة التانية، وبفرق كبير. بتوصل لـ$1,000 بشي 9.0% من المرات، قريب من نسبة الـ10% العادلة. أما الخطة الأولى فبتنجح شي 7 مرات من 10²².
بـلعبة عادلةرياضياتاللعبة العادلةلعبة ما في فيها ولا طرف إله ميزة: كل رهان قيمته المتوقعة صفر.اقرا الكل ← رح توصل لـ$1,000 وإنت بادئ من $100 مرة من كل عشر مرات شو ما عملت، لأنو متوسط قيمة مصاريك بيضل $100.
ميزة الكازينو بتاخد 2.70% من كل رهان، فكل ما قلّ مجموع يلي بتراهن فيه، بتضل أقرب لمرة من كل عشر. والخطة التانية بتحسم الشغلة بكم رهان: الـ$100 بتصير $200 وبعدين $400 وبعدين $800، وبعدها بيكفي رهان $200. فبتنجح بشي 9.0% من المرات. أما الخطة الأولى فبدها آلاف الرهانات قبل ما يخلص المشوار، والميزة، يلي صغيرة بكل رهان، بتتراكم لحتى يصير الإفلاس شبه أكيد.
هاي نتيجة دوبنز وسافيج بأبسط شكل إلها (إبستين، 2013): بلعبة مايلة لصالح الكازينو، راهن بقد ما بدّك، وبأقل عدد مرات ممكن.
معك $500 وبدّك $1,000، وبتوقف أول ما توصلها. بتختار نوع واحد من الرهانات وبتعيده لحتى يربح مرة وحدة أو تخلص المصاري. أيّا نوع بيعطيك أحسن احتمال؟
ورجيني الحل
الجواب رهان واحد بـ$500 عالأحمر: 48.6%. وكل خطة بتوزّع المصاري على رهانات أصغر بتكون أسوأ.
اختار كل مبلغ رهان بحيث ربحة وحدة تكفي: $30 على رهان الرقم الواحدرهانرهان الرقم الواحدرقم واحد لحاله، وبيدفع 35:1.اقرا الكل ← بتربح $1,050، و$60 على رهان الرقمينرهانرهان الرقمينرقمين جنب بعض، وبيدفع 17:1.اقرا الكل ← بتربح $1,020، وهيك. بعدين احسب احتمال إنو رهان واحد عالأقل يربح قبل ما تخلص المصاري. ستعشر رهان عالرقم الواحد بـ$30 بيخيبوا كلهن باحتمال (36/37)¹⁶ = 64.5%، فبتوصل لـ$1,000 بـ35.5% من المرات.
الجدول بيورجي كل رهان. الأحمر هو الأحسن لأنو بيوصل برهان واحد، فالميزة بتندفع مرة وحدة، على $500. وبيجي رهان الصفينرهانرهان الصفينست أرقام بصفّين جنب بعض، وبيدفع 5:1. بالفرنسي: sixain.اقرا الكل ← تاني لأنو ما بدّو إلا تلات رهانات. ورهان الدزينةرهانالدزينة1–12، 13–24 أو 25–36، وبيدفع 2:1.اقرا الكل ← الواحد هو الأسوأ، فرصته 12/37؛ وحتى إذا لعبته بـوحداتالمصاريالوحدةالرهان الأساسي يلي بيشتغل فيه نظام أو لاعب. التدرّجات بتنوصف بالوحدات مشان تنطبق على أي طاولة.اقرا الكل ← قدّها $250 لحتى توصل لـ$1,000 أو أكتر، الدزينة ما بتوصل إلا بـ46.4% من المرات.
وبولمان (2024) بيبني نفس الجدول للدولاب الأميركي. وبصف الدزينة عنده غلط: لازم يكون 12/38 = 31.6%.
رهانمبلغ الرهان × عدد الرهاناتاحتمال توصل لـ$1,000رهان الرقم الواحد$30 × 1635.5%رهان الرقمين$60 × 835.9%رهان الصف$90 × 534.5%رهان القرنة$125 × 436.7%رهان الصفين$166, $166, $16841.2%الدزينة$500 × 132.4%أحمر$500 × 148.6%عم تراهن بوحدة وحدة عالأحمر، دورة ورا دورة، مع رأس مالالمصاريرأس مال اللعبكل المبلغ يلي حاطّه عجنب للّعب. إدارة رأس المال يعني تقرّر قدّيش منه رح تخاطر بكل رهان وبكل جلسة.اقرا الكل ← ما بيخلص أبدًا. بعد أول دورة بتكون رابح وحدة أو خاسر وحدة. شو احتمال ترجع يومًا ما للتعادل بالزبط؟
ورجيني الحل
الجواب 36 من 37، يعني 97.3%. وعالدولاب الأميركي 36 من 38، يعني 94.7%.
إذا ربحت أول دورة (18 مرة من 37) فإنت رابح وحدة، والميزة بتجرّ كل جلسة ما إلها آخر لتحت، فعاجلًا أو آجلًا رح تمرق بنقطة التعادل مرة تانية: هاد أكيد. وإذا خسرت (19 مرة من 37)، لازم تطلع وحدة وحدة، واحتمال تصير يومًا رابح وحدة هو 18/19 (شوف الجدول فوق).
سوا: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
وبشكل عام الاحتمال بيساوي 1 ناقص الفرق بين احتمال تربح الدورة واحتمال تخسرها: 1 − 1/37 عالدولاب الأوروبي، و1 − 2/38 عالأميركي. وبلعبة بلا صفرالدولابالصفرالخانة الخضرا الوحيدة يلي ما بيغطّيها ولا رهان دفع متساوي ولا دزينة ولا عمود؛ ومنها بتجي ميزة الكازينو. كمان بيقولولو: الصفر الواحد، 0.اقرا الكل ← الفرق بيكون صفر والاحتمال 1: الحصيلة دايمًا بترجع للتعادل. وإبستين (2013) بيعطي القاعدة العامة.
لغز باسكال سنة 1656: لاعبين بيرموا تلات حجار نرد، وكل واحد بيبلّش بـ12 قطعة عدّ. كل 11 بتنقل قطعة للاعب الأول، وكل 14 بتنقل قطعة للتاني؛ والرميات التانية ما بتنحسب. شو احتمال اللاعب الأول يربح الـ24 قطعة كلها؟ ولو بدل هيك حطّيت 1 وحدة عالأحمر بكل دورة قدّام رفيق عم يلعب دور البنك، وكل واحد منكن معه 12 وحدة، شو احتمال تربح الـ24 وحدة كلها؟
ورجيني الحل
الجواب اللاعب الأول بيربح شي 1,157 مرة من 1,158. أما إنت، عالأحمر، فبتربح الـ24 وحدة كلها بشي 34% من الحالات بس.
تلات حجار نرد بيعطوا 11 بـ27 طريقة و14 بـ15 طريقة، فكل قطعة بتتحرّك بتروح للاعب الأول 27 مرة من 42، يعني 9 مرات من 14. ولمّا كل طرف بيبلّش بـ12، احتمال ياخد كل شي هو 1/(1 + r¹²)، وr هي نسبة احتمال الطرف التاني لاحتمالك.
للاعب الأول r = 5/9، و(5/9)¹² ≈ 0.00086، فالاحتمال شي 0.99914: يعني نسبة 9¹² لـ5¹²، أو 282,429,536,481 لـ244,140,625، شي 1,157 مقابل 1. وهويغنز نشر هالأعداد بالزبط سنة 1657.
عالأحمر r = 19/18 بسبب الصفر، و(19/18)¹² ≈ 1.913: فاحتمالك 1/2.913 ≈ 34.3%. العملة كانت بتعطي 50%. وميزة الـ2.70% بكل رهان بتتراكم، على كل الرهانات الكتيرة يلي لازمة، لتصير فجوة قدّها 16 نقطة.
استراحة للضحك
اللعب الجريء هو الأمثل. وكمان بيخلص بسرعة.
المصادر
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Letter to Huygens, 28 September 1656, on the problem Pascal posed to Fermat.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”