اختبار مربع كاي
الاختبار المعتمد للسؤال: «هالـ37 عدد، هنّي يلي كان رح يطلّعهن دولاب نزيه؟»
χ² = Σ (الملاحَظ − المتوقَّع)² / المتوقَّع على كل الخانات الـ37. بتقارن النتيجة بتوزيع مربع كاي عند 36 درجة حرية لتطلع قيمة p.
كيف بتحسبه
العدد المتوقَّع لكل خانةالعدّةالخانةوحدة من الـ37 خانة المرقّمة عالدوّار. كمان بيقولولها: الفتحة، الكأس.اقرا الكل ← هو n/37. لكل خانة، ربّع الفرق بين الملاحَظ والمتوقَّع واقسمه عالمتوقَّع؛ وبعدين اجمع الـ37 حدّ. الدولاب النزيه بيعطي قيم حوالين 36 بالمتوسط (عدد درجات الحريةالمختبردرجات الحريةعدد القيم المستقلة بإحصاء معيّن. باختبار مربع كاي على 37 خانة هو 36، لأنو العدّات لازم مجموعها يطلع قد المجموع الكلّي.اقرا الكل ←)، مع انحراف معياريرياضياتالانحراف المعياريالجذر التربيعي للتباين؛ يعني المسافة المعتادة بين النتيجة والقيمة المتوقعة.اقرا الكل ← بحدود 8.5. فوق 51.0 دالّ إحصائيًا عند مستوى 5%؛ وفوق 58.6 عند 1%. محلّل انحياز الدولاب بيحسب الإحصاء وقيمة pالمختبرقيمة pاحتمال إنك تشوف انحراف قدّ يلي شفته أو أكبر، لو كان الدولاب نزيه.اقرا الكل ← الدقيقة من دالة غاما الناقصة المنتظَمة.
مثال محلول خطوة بخطوة
1,000 دورة. ست وتلاتين خانة طلعوا بين 20 و34 مرة؛ والخانة 8 طلعت 41 مرة. المتوقَّع 27.03. حدّ الخانة 8 لحاله بيساوي (41 − 27.03)²/27.03 = 7.2. خلّينا نفترض إنو مجموع الـ36 حدّ الباقيين 38 (وهاد عادي). χ² = 45.2 عند 36 درجة حرية، وp ≈ 0.14. مش دالّ: الدولاب النزيه بيعمل هيك مرة من كل سبعة. الخانة 8 مرشّحة، مش اكتشاف، والجواب ألف دورة كمان.
الافتراضات
دورات مستقلةرياضياتالدورات المستقلةكل دورة إلها نفس الاحتمالات شو ما كان صار قبلها. هاد الأساس لكل حساب بهالموقع.اقرا الكل ←، وأعداد متوقَّعة ما بتقل عن 5 لكل خانة، يعني n ≥ 185 لحتى يكون الاختبار صالح أصلًا، وأكتر بكتير لحتى يفيد. إذا خلطت دورات من دواليب مختلفة بتكون عم تخالف الافتراض الأول بروحه (إنت عم تختبر خليط، مش دولاب). أما أثر بصمة الموزّع فبيخالفه فعليًا، وبينفخ χ² بلا ما تكون أي خانة مفضّلة فيزيائيًا.
بيرسون ومونت كارلو
كارل بيرسون نشر الاختبار سنة 1900، ومن أول أمثلته المحلولة كانت 26,306 دورة روليت مسجّلة بمونت كارلو، لقاها بعيدة كتير عن التساوي لدرجة ما بتكون صدفة، وأعلن إنو «روليت مونت كارلو… مش لعبة حظ». بعدين كتّاب إجوا بعده وصلوا لنتيجة إنو الصحفيين يلي سجّلوا الدورات لجريدة كانوا مألّفين كتير منها، وهاد بحد ذاته درس عن مصدر الداتا.
بيرسون بينشر اختبار مربع كاي لجودة المطابقة، وبيعطي دورات مونت كارلو كمثال.
صار في تشكيك بداتا الدورات؛ وبيبيّن إنو المسجّلين ألّفوا سلاسل منها.
فيشر بيعطي تعريف رسمي لدرجات الحرية؛ وبتترسّخ عادة حدّ الـ5%.
الإحصائيين بيستعملوا دورات الروليت كداتا نموذجية بالكتب الدراسية لاختبارات التساوي.
عيلة غارسيا بيلايو بتطبّق الطريقة على داتا مسجّلة حقيقية وبتربح بمدريد.
الكازينوهات بتعمل نفس الاختبار على دواليبها كجزء من الصيانة العادية.
اختبار حقيقي: الدواليب الأوتوماتيكية بلاس فيغاس
اللاعبين كتير بيشكّوا إنو الدولاب الأوتوماتيكي بيبعّد الطابةالعدّةالطابةالطابة الزغيرة يلي بتنرمى عالمسار بعكس الدوّار. الطابات الحديثة من الإيفورين أو التفلون، قياسها 18–21 مم.اقرا الكل ← عن الرهانات الكبيرة. تحليل من سنة 2017 حطّ هالشك عالمحك على دواليب Interblock بلا موزّع وبـصفرينالدولابالصفرالخانة الخضرا الوحيدة يلي ما بيغطّيها ولا رهان دفع متساوي ولا دزينة ولا عمود؛ ومنها بتجي ميزة الكازينو. كمان بيقولولو: الصفر الواحد، 0.اقرا الكل ← بلاس فيغاس، وراهن على قوس من خمس أرقام جنب بعض، متل الرهان يلي بيعمله يلي بيراقب الدولاب ويوقّته. بـ299 دورة، القوس ربح 29 مرة مقابل 39.3 متوقَّعة، وهاد نقص بيطلّعه دولاب نزيه بحدود 4% من الوقت. ومربع كاي على كل الخانات الـ38 كان 45.29 عند 37 درجة حرية: p = 16.5%. وعينة تانية من 1,204 دورة على تلات دواليب عطت χ² = 34.79 وp = 57%، وولا قوس من أي حجم جرّبوه طلع دالّ. والعينتين سوا، 1,503 دورة، عطوا χ² = 41.75 وp = 27%. الحكم كان: ما في دليل على التوجيه. العينة الأولى لحالها كانت بتبيّن مشبوهة؛ أما التانية فهي يلي حسمت الموضوع.
أبعد من مربع كاي
لخانة وحدة مشكوك فيها، اختبار ذو الحدّين أقوى. ولقوس مشكوك فيه، في اختبار z عـالقطاعالدولابالقطاعقوس من خانات ورا بعض عالدولاب، وهاد غير المجموعة يلي على لوحة الرهان.اقرا الكل ← بصفحة تحليل القطاعات. مربع كاي هو الاختبار الشامل: بيقلّك إنو في شي مش مظبوط بلا ما يقلّك شو هو. استعمله أول شي، وبعدين دوّر.
المعادلة
أسئلة
لأنو مجموع الـ37 عدد لازم يساوي n، فما في غير 36 منهن بيتغيّروا بحرية.
دولاب فيه خانة بتطلع بمعدّل 1/25 رح يعطي بـ10,000 دورة حدّ لهالخانة لحالها بحدود 60؛ وχ² بحدود 100، وp عمليًا صفر.
تقنيًا إي، بعدد متوقَّع 5.4 لكل خانة. بس ما رح يكشف ولا شي إلا إذا الدولاب فيه خانة مسكّرة بالغرا.
استراحة للضحك
اجمع مربعات المفاجآت. وقارن المجموع بـ51.0.
المصادر
- Pearson, K. “On the criterion that a given system of deviations from the probable…”
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Organic Roulette Experiment.”