معيار كيلي والروليت
معيار كيلي بيقلّ للمراهن يلي عنده ميزة قدّيش لازم يراهن. وبالروليت الجواب واضح: ولا شي.
مبلغ كيلي = الميزة / نسبة الدفع. لمّا تكون الميزة سالبة، المعادلة بتطلّع نسبة سالبة، يعني ما تراهن. بس المعيار لسّا مفيد لتفهم ليش لاعبين الدولاب المنحاز حدّدوا رهاناتهم بالطريقة يلي حدّدوها فيها، وليش كل الباقيين لازم يحدّدوا رهانهم حسب الميزانية.
المعيار
جون كيلي (1956) سأل: المقامر يلي عنده ميزة معروفة، قدّيش لازم يراهن لحتى يكبّر رأس مال اللعبالمصاريرأس مال اللعبكل المبلغ يلي حاطّه عجنب للّعب. إدارة رأس المال يعني تقرّر قدّيش منه رح تخاطر بكل رهان وبكل جلسة.اقرا الكل ← تبعه لأقصى حدّ عالمدى الطويل؟ الجواب، لرهان بيدفع b مقابل 1 واحتمالرياضياتالاحتمالفرصة نتيجة معيّنة، من 0 لـ1 أو من 0% لـ100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرا الكل ← ربحه p واحتمال خسارته q = 1 − p، إنو يراهن بالنسبة f* = (bp − q) / b من رأس المال. إذا f* موجبة، راهن بهالنسبة؛ إذا صفر أو سالبة، ما تراهن. كيلي كان يشتغل بمختبرات بل، وورقته «A new interpretation of information rate» حطّت المسألة بنظرية المعلومات تبع كلود شانون: المقامر يلي عم توصله معلومات من خط فيه تشويش، بنسب دفع عادلة، أحسن شي بيقدر يكبّر رأس ماله بنفس معدّل المعلومات يلي بينقلها الخط. وبـ1961 أثبت ليو بريمان إنو رهان كيلي، عالمدى الطويل، بيخلص قدّام أي استراتيجية مختلفة عنه بالأساس، وبيوصل لهدف محدّد تقريبًا بأقصر وقت.
رهان كيلي بالروليت
عـالأحمررهانالأحمررهان بدفع متساوي على الـ18 رقم الأحمر. بالفرنسي: rouge.اقرا الكل ←: b = 1، p = 18/37، q = 19/37؛ f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. عـالرقم الواحدرهانرهان الرقم الواحدرقم واحد لحاله، وبيدفع 35:1.اقرا الكل ←: b = 35، p = 1/37، q = 36/37؛ f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. كل رهان أساسي بيعطي نسبة كيلي سالبة، لأنو كل رهان ميزته سالبة، والمبلغ الأمثل للنمو هوّي صفر. رهان كيلي بالروليت طريقة رسمية لتقول نفس الشي يلي بتقوله صفحة ميزة الكازينو: ما في مبلغ بيخلّي رهان قيمته المتوقعة سالبة يكبّر رأس المال.
وين كيلي كان إله محل
لاعبين الدولاب المنحاز كان عندهن ميزة ومشكلة بحجم الرهان. جاغر وعيلة غارسيا بيلايو واليودايمونيين كلهن كان لازم يقرّروا قدّيش يراهنوا على الميزة يلي قاسوها، والرهان القليل بيضيّع الميزة والرهان الزايد بيخاطر بالإفلاس قبل ما تبيّن الميزة. لـخانةالعدّةالخانةوحدة من الـ37 خانة المرقّمة عالدوّار. كمان بيقولولها: الفتحة، الكأس.اقرا الكل ← بتطلع 1 من 30، كيلي بيقول 0.57% من رأس المال بكل دورة على هالرقم: مع $10,000، تقريبًا $57 بالدورة، لنمو نموذجي حوالي 0.054% بالدورة، يعني ×1.7 على 1,000 دورة. متوسط الربح ضعف هاد، 0.11% بالدورة، بس كيلي بيستهدف رأس المال النموذجي مش المتوسط، يلي بتنفخه كم سلسلة محظوظة. نص كيلي هوّي الخيار العملي المعتاد لأنو تقدير الميزة مش أكيد.
النموذجي والمتوسط
الفرق بين رأس المال النموذجي والمتوسط كبير. خود خانة بتطلع 1 مرة من كل 25، يعني ميزة 44%، وهاد الرقم يلي بيعطيه ثورب لجهازه. كيلي بيراهن عليها بـ1.26% من رأس المال. بعد 1,000 دورة، رأس المال النموذجي بيكون كبر حوالي 11.5 ضعف، بينما المتوسط، يلي بتشدّه لفوق كم سلسلة محظوظة كتير، بيكون كبر حوالي 249 ضعف. إذا راهنت أكتر من كيلي بترفع المتوسط وبتنزّل النتيجة النموذجية: بضعف مبلغ كيلي رأس المال النموذجي بس بيتضاعف، وبضعفين ونص مبلغ كيلي بيصغر، مع إنو كل رهان لسّا فيه ميزة 44%. والرهان الأقل ما بيكلّف كتير: نص المبلغ بيحافظ على حوالي تلات أرباع النمو.
لمّا تكون الميزة تخمين
كيلي بيفترض إنو الميزة معروفة. عالطاولة هيّي بتنقدّر، والتقدير عادةً بيطلع عالي زيادة. مثال إبستين، المبني على الـ44% تبع ثورب، هوّي رقم طلع 49 مرة بـ1,225 دورة على دولاب فيه صفرالدولابالصفرالخانة الخضرا الوحيدة يلي ما بيغطّيها ولا رهان دفع متساوي ولا دزينة ولا عمود؛ ومنها بتجي ميزة الكازينو. كمان بيقولولو: الصفر الواحد، 0.اقرا الكل ← مزدوج: 1 مرة من كل 25، ميزة 44%، ومبلغ كيلي 1.26%. بس الدولاب العادل يلي فيه صفر مزدوج فيه 38 رقم، وأكتر رقم بيطلع بيناتهن بيوصل لـ49 أو أكتر بـ1,225 دورة تقريبًا مرة من كل تسعة. وأكتر رقم بيطلع بأي سجل هوّي كمان الرقم يلي ساعده الحظ أكتر شي، فحتى الخانة المنحازة عن جد بتبيّن بالسجل أحسن مما هيّي: هاي لعنة الفائز. وإذا هالخانة بالحقيقة مش منحازة، مبلغ كيلي بيصير ببساطة رهان بيخسر 5.26% بالمتوسط. الحلول المعتادة إنك تراهن بجزء من كيلي، وتضل تعدّ لحتى تصمد الميزة بسجل جديد (شوف «كيف تكتشف انحياز دولاب الروليت»).
ناس عندهن ميزة
إنك تعرف الميزة مش متل إنك تستعملها منيح. هاغاني وديوي (2016) عطوا 61 شخص $25 لكل واحد لحتى يراهنوا نص ساعة على عملة قالولهن إنها بتطلع وجه 60% من المرات، والربح محدود بـ$250 (اللاعبين ما عرفوا بالحدّ إلا لمّا وصلوله). كيلي بيقول راهن بـ20% من رأس المال عالوجه كل مرة، والباحثين بيقدّروا إنو الرهانات الثابتة بين 10–20% كانت رح توصل للحدّ حوالي 95% من المرات. بس 21% من اللاعبين وصلوا. 28% أفلسوا، و18 من الـ61 راهنوا بكل شي على رمية وحدة، وحوالي التلت خلّصوا تحت الـ$25 يلي بلّشوا فيها، ومتوسط الدفعالمصاريالدفعشو بيرجّعلك الرهان الرابح، وبينقال «X مقابل 1» فوق مبلغ الرهان يلي بيرجعلك.اقرا الكل ← كان $91. بس خمسة من الـ61 كانوا سامعين بمعيار كيلي. مع الميزة، حجم الرهانات هوّي يلي بيقرّر إذا رح تحافظ عليها؛ وبلاها، متل عدولاب عادل، ولا حجم بيفيد.
شو تستعمل بدالو
بلا ميزة، تحديد الرهان سؤال ميزانية مش سؤال نمو: المبلغ = يلي إنت مستعد تصرفه بالدورة، محسوب من ميزانية الساعة وسرعة الطاولة (صفحة إدارة رأس المال). يلي بيقدّمه كيلي للاعب العادي هوّي وضوح جوابه: صفر. كل شي بتراهن فيه فوق الصفر هوّي سعر اللعب، إنت يلي بتختاره، ومش أي معادلة بتحسّنه.
ملاحظة عن كيلي الجزئي و«إدارة المصاري»
الأنظمة يلي بتنباع على إنها «كيلي للروليت» وبتنصح بنسبة ثابتة من رأس المال بكل رهان هيّي رهان ثابتاستراتيجيةالرهان الثابتإنك تراهن بنفس المبلغ بكل دورة. هو الأساس يلي بتنقارن فيه كل التدرّجات.اقرا الكل ← بمبلغ عم يصغر. بتخسر 2.70% من مجموع الرهاناتالمصاريمجموع الرهاناتكل المبلغ يلي راهنت فيه بجلسة أو بفترة، مع الأرباح يلي رجعت راهنت فيها. كمان بيقولولو: «Handle»، «Action».اقرا الكل ←، ولأنو المبلغ بيصغر كل ما تخسر، بتخلّي الإفلاس بطيء مش مستبعد. هيّي طريقة معقولة لتطوّل عمر الميزانية؛ بس مش كيلي، لأنو كيلي كان رح يقلّك وقّف.
المعادلة
أسئلة
بس إذا في ميزة مقاسة من دولاب منحازالمختبرالدولاب المنحازدولاب فيه عيوب مادية بتخلّي بعض الخانات احتمالها أكتر من 1/37. نادر، وما بينكشف إلا بآلاف الدورات المسجّلة.اقرا الكل ← أو من جهاز توقيت. مش على دولاب عادل.
لأنو تقدير الميزة فيه غلط، والرهان الزايد بيكلّف أكتر من الرهان الناقص. نص كيلي بيعطي تلات أرباع النمو بربع التباينرياضياتالتباينمقياس لقدّيش النتايج متفرّقة حوالين القيمة المتوقعة. عالي للرقم الواحد، وواطي لرهانات الدفع المتساوي.اقرا الكل ←.
لأ. كيلي بيحسّن النمو لمّا يكون في ميزة. إدارة رأس المال بتضبط الصرف لمّا ما يكون في ميزة.
تسلاية بالرياضيات
جرّب تحلّها لحالك أول. كل حل مخبّى؛ فتحه لمّا تكون جاهز.
جهاز التنبؤ يلي عملوه ثورب وشانون كان يعطي ميزة شي 44%. وعلى رقم واحد متنبّأ فيه، معيار كيلي بيقلك تراهن بـ1.26% من رأس مال اللعبالمصاريرأس مال اللعبكل المبلغ يلي حاطّه عجنب للّعب. إدارة رأس المال يعني تقرّر قدّيش منه رح تخاطر بكل رهان وبكل جلسة.اقرا الكل ←. طيب شو بيصير لو نفس الميزة، 44%، إجت على رهان واحد موزّع على خمس أرقام جنب بعض؟
ورجيني الحل
الجواب وقتها معيار كيلي بيقول 7.1% من رأس المال، ورأس المال بيكبر أسرع بشي ست أضعاف: شي 1.25 مليون ضعف على 1,000 رهان، مقابل شي 11.5 ضعف.
رهان الرقم الواحدرهانرهان الرقم الواحدرقم واحد لحاله، وبيدفع 35:1.اقرا الكل ← بميزة 44% بيربح باحتمال 0.04، لأنو 36 × 0.04 = 1.44. ومبلغ كيلي هو الميزة مقسومة على نسبة الدفع: 0.44/35 = 1.26%. والنمو النموذجي بكل رهان هو 0.04 × ln(1 + 35 × 0.0126) + 0.96 × ln(1 − 0.0126) ≈ 0.00244، فالـ1,000 رهان بيضربوا رأس المال بشي e^2.44 ≈ 11.5.
وزّع مبلغ رهان واحد على خمس أرقام، فبيربح الرهان باحتمال 0.20 وبيدفع 36/5 لكل 1، يعني 6.2 مقابل 1: الميزة لسّا 44%، لأنو 0.2 × 7.2 = 1.44. وبيصير مبلغ كيلي 0.44/6.2 = 7.10%، والنمو بكل رهان 0.01404، يعني شي 5.75 ضعف. وعلى 1,000 رهان هاد بيعطي e^14.04، يعني شي 1.25 مليون.
الميزة نفسها؛ بس الطلوع والنزول أصغر. الرهان يلي بيربح مرة من كل خمسة بيقدر يحمل حصة أكبر من رأس المال بلا ما يخاطر بالإفلاس، ونمو كيلي بيكافئ هالشي. وثورب (1984) بيستعمل هالمثال ليورجي ليش لاعبين التنبؤ بيراهنوا على القطاعاتالدولابالقطاعقوس من خانات ورا بعض عالدولاب، وهاد غير المجموعة يلي على لوحة الرهان.اقرا الكل ←. وبالواقع خمس جيرانرهانالجيرانرقم والخانتين يلي عيمينه والخانتين يلي عشماله عالدولاب، يعني خمس فيش رقم واحد.اقرا الكل ← إلهن ميزة أقل بشوي من أحسن رقم لحاله (شوف اللعب بميزة).
لاعب لقى خانتينالعدّةالخانةوحدة من الـ37 خانة المرقّمة عالدوّار. كمان بيقولولها: الفتحة، الكأس.اقرا الكل ← جنب بعض كل وحدة منهن بتطلع بنسبة 1 من 25 بدل 1 من 37. بيراهن على رهان الرقمينرهانرهان الرقمينرقمين جنب بعض، وبيدفع 17:1.اقرا الكل ← بيناتهن بدفع 17 مقابل 1، ولا على كل رقم برهان الرقم الواحد؟ قدّيش بيقول كيلي، وقدّيش رأس المال بيكبر أسرع مقارنةً بخانة وحدة من هالنوع؟
ورجيني الحل
الجواب ما في فرق: 2.59% من رأس المال على رهان الرقمين، أو 1.29% على كل رقم. ورأس المال النموذجي بيكبر شي 155 مرة بـ1,000 دورة، مقابل 11.5 مرة مع خانة وحدة.
رهان الرقمين بيربح، واحتمالرياضياتالاحتمالفرصة نتيجة معيّنة، من 0 لـ1 أو من 0% لـ100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرا الكل ← هالشي 2/25 = 0.08، وبيدفع 17 مقابل 1، فبيرجّع 18 × 0.08 = 1.44 عن كل وحدةالمصاريالوحدةالرهان الأساسي يلي بيشتغل فيه نظام أو لاعب. التدرّجات بتنوصف بالوحدات مشان تنطبق على أي طاولة.اقرا الكل ← راهنت فيها: ميزة 44%، متل خانة منحازة وحدة. ومبلغ كيلي هو الميزة مقسومة على نسبة الدفع: 0.44/17 = 2.59%.
رهانين عالرقم الواحد بنسبة 1.29% لكل واحد بيعطوا نفس النتايج بالزبط. لمّا يطلع واحد من الرقمين، فيشةالمصاريالفيشةقطعة بتمثّل مبلغ ثابت، بتنحطّ على لوحة الرهان لتراهن. كمان بيقولولها: check.اقرا الكل ← بتربح 35 مقابل 1 والتانية بتخسر، والصافي 34 × 1.29% = 44% من رأس المال، متل ما بيدفع رهان الرقمين؛ ولمّا ما بيطلع ولا واحد منهن، التنتين بيخسروا.
النمو بكل دورة 0.00505، مقابل 0.00244 لخانة وحدة، فعلى 1,000 دورة رأس المال النموذجي بيكبر e^5.046 ≈ 155 مرة بدل e^2.44 ≈ 11.5 مرة. يعني رقمين منحاح بيسوَوا أكتر بكتير من ضعف رقم واحد، ومشان هيك لاعبين الانحياز بيراهنوا على مجموعات من الأرقام. وثورب (1984) بيعمل نفس المقارنة.
استراحة للضحك
مبلغ الرهان الأمثل للنمو بالروليت رقم كل الناس بيعرفوه من قبل.
المصادر
- Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”