التقارب عالمدى الطويل: قانون الأعداد الكبيرة بالروليت
كيف بيستقرّ المتوسط عند −2.70%، وليش بياخد وقت أطول من يلي بيوحيلك فيه إحساسك.
متوسط الخسارة بالدورة بيتقارب باتجاه −1/37 كل ما تتجمّع الدورات، وتشتته بيصغر متل 1/√N. بعد 1,000 دورة عالأحمر، المتوسط عادةً بيكون ضمن ±3% من قيمته المتوقعة.
قانون الأعداد الكبيرة
المتوسط الجاري لرهانات مستقلة بيمشي باتجاه القيمة المتوقعةرياضياتالقيمة المتوقعةمتوسط النتيجة لكل رهان عالمدى الطويل. −1/37 من مبلغ الرهان لكل رهان أوروبي عادي.اقرا الكل ←. بعد N دورة عالدفع المتساوي بـوحدةالمصاريالوحدةالرهان الأساسي يلي بيشتغل فيه نظام أو لاعب. التدرّجات بتنوصف بالوحدات مشان تنطبق على أي طاولة.اقرا الكل ← وحدة، متوسط النتيجة بالدورة قيمته المتوقعة −1/37 وانحرافه المعياريرياضياتالانحراف المعياريالجذر التربيعي للتباين؛ يعني المسافة المعتادة بين النتيجة والقيمة المتوقعة.اقرا الكل ← 1/√N. لمّا N = 100، هالتشتت بيكون 10% من مبلغ الرهان، يعني تقريبًا أربع أضعاف الإشارة يلي هي 2.7%. لمّا N = 1,000 بيصير 3.2%، يعني تقريبًا قد الإشارة. ولمّا N = 10,000 بيصير 1%، والميزة بتبيّن بشكل واضح. الميزة ما بتنشاف بجلسة، بس ما فيك تغلط فيها بسنة.
شو يلي بيتقارب وشو يلي ما بيتقارب
المتوسط بالدورة بيتقارب. المجموع لأ: كل ما تكبر N بيبعد أكتر عن الصفر، بحوالي 2.7% من N بالتوقع، وتشتته حوالين هالرقم √N. اللاعب يلي لعب 10,000 دورة بـ$10 متوقع يكون خسران $2,700، زايد ناقص $1,000. النسبة الجارية للأحمررهانالأحمررهان بدفع متساوي على الـ18 رقم الأحمر. بالفرنسي: rouge.اقرا الكل ← صارلها زمان مستقرة قريب من 48.65%؛ بس الرصيد الجاري لسّا ما استقر بأي محل.
- p10 −$440
- p25 −$280
- الوسيط −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
ليش الإحساس بيغلط
الناس بيتوقعوا إنو الميزة تبيّن بسرعة لأنو 2.70% بتبيّن نسبة كبيرة، وبيتوقعوا إنو السلاسل الطويلة «تتعادل» لأنو قانون الأعداد الكبيرةرياضياتقانون الأعداد الكبيرةمتوسط النتايج المستقلة بيقرب للقيمة المتوقعة كل ما زاد عدد التجارب.اقرا الكل ← بيقول إنو المتوسطات بتتقارب. الإحساسين التنين بيغلطوا بالمقياس: الميزة صغيرة قدّام تباينرياضياتالتباينمقياس لقدّيش النتايج متفرّقة حوالين القيمة المتوقعة. عالي للرقم الواحد، وواطي لرهانات الدفع المتساوي.اقرا الكل ← الدورة الوحدة (σ = 1 وحدة مقابل EV = 0.027)، فبدّك (1/0.027)² ≈ 1,400 دورة لحتى تبيّن بمقدار سيغما وحدة. وتقارب المتوسط ما بيعمل ولا شي لحتى يرجّع المجموع لورا؛ كل يلي بيعمله إنو بيذوّب التذبذبات يلي صارت.
التقارب بباقي الرهانات
بـرهانات الرقم الواحدرهانرهان الرقم الواحدرقم واحد لحاله، وبيدفع 35:1.اقرا الكل ← σ = 5.84، فنفس الحساب بيعطي (5.84/0.027)² ≈ 47,000 دورة لحتى توصل الميزة لسيغما وحدة. يلي بيراهن عالرقم الواحد فيه يلعب سنين وما تنفرق الميزة عن الحظ بسجلاته هوّي، وهوّي عم يدفع نفس الـ2.70% بالضبط يلي بيدفعها يلي بيراهن عالأحمر وبيشوفها خلال كم جمعة.
شو بيعني هاد لاختبار أنظمة الرهان
أي حدا بيقول إنو نظام معيّن بيزبط لازم يقدر يثبت هالشي على 10,000 دورة أو أكتر بمتوسط موجب موثّق. على 1,000 دورة، المتوسط الموجب عالدفع المتساوي بيصير مرة من كل خمسة تحت فرضية العدم؛ وعلى 100 دورة تقريبًا متل رمية عملة. المحاكيات بهالموقع بتشغّل 2,000 جلسة بالطول يلي بتختاره بثانية وحدة، وهاد دليل أكتر من أي شهادة شخصية.
المعادلة
أسئلة
احتمالرياضياتالاحتمالفرصة نتيجة معيّنة، من 0 لـ1 أو من 0% لـ100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرا الكل ← إنك ترجع رابح بيوم من الأيام بينزل باتجاه الصفر كل ما تلعب أكتر. والمجموع بينزل لتحت بلا حدّ.
لأ. يعني إنو التذبذبات يلي صارت بتصير جزء أصغر من عيّنة أكبر.
عالدفع المتساوي، حوالي 10,000 دورة قبل ما تبيّن الميزة بوضوح. وعلى رهانات الرقم الواحد، حوالي 50,000.
تسلاية بالرياضيات
جرّب تحلّها لحالك أول. كل حل مخبّى؛ فتحه لمّا تكون جاهز.
رفيقين بيلعبوا 20 جولة من لعبة عادلةرياضياتاللعبة العادلةلعبة ما في فيها ولا طرف إله ميزة: كل رهان قيمته المتوقعة صفر.اقرا الكل ←، رمي عملة أو الأحمررهانالأحمررهان بدفع متساوي على الـ18 رقم الأحمر. بالفرنسي: rouge.اقرا الكل ← ضد الأسودرهانالأسودرهان بدفع متساوي على الـ18 رقم الأسود. بالفرنسي: noir.اقرا الكل ← مع رجعة الرهانات عند الأصفارالدولابالصفرالخانة الخضرا الوحيدة يلي ما بيغطّيها ولا رهان دفع متساوي ولا دزينة ولا عمود؛ ومنها بتجي ميزة الكازينو. كمان بيقولولو: الصفر الواحد، 0.اقرا الكل ←، وبيسجّلوا النتيجة أول بأول. عِدّ الجولات يلي بيكون فيها كل واحد منهن سابق (التعادل بينحسب للي كان سابق قبله مباشرة). شو الأرجح: إنو السبق ينقسم 10 جولات مقابل 10، ولا إنو واحد منهن يكون سابق بالـ20 جولة كلها؟
ورجيني الحل
الجواب إنو واحد منهن يكون سابق بالـ20 جولة كلها أرجح بكتير: 35.2%، إذا حسبت أيّا واحد من الرفيقين، مقابل 6.1% لقسمة متساوية 10 مقابل 10.
احتمال تكون النتيجة أول بأول بلعبة عادلة متعادلة بعد 2k جولة هو u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0.246 بعد 10 جولات و0.176 بعد 20. ونتيجة كلاسيكية، هي قانون قوس الجيب، بتقول إنو احتمال رفيق معيّن يكون سابق بـ2k جولة بالزبط من 2n هو u(2k) × u(2n − 2k).
السبق بالـ20 جولة كلها: u(20) × u(0) = 0.176 لكل رفيق، و35.2% لأيّا واحد منهن. والقسمة المتساوية: u(10) × u(10) = 0.246² = 6.1%، وهي أقل قسمة احتمالًا على الإطلاق.
يعني باللعبة العادلة نادرًا ما بينتقل السبق من إيد لإيد. واللاعب يلي ضل سابق كل السهرة، أو متأخر كلها، ما شاف شي غريب، وهاد ما بيقول ولا شي عن الدولاب ولا عن المهارة. وإبستين (2013) بيعطي نفس القانون للألعاب الأطول: بنص الحالات الطرف يلي حظه أحسن بيكون سابق بأكتر من 85% من اللعب.
استراحة للضحك
المتوسط بيتقارب. أما المجموع فببساطة بيفلّ.
المصادر
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.